Forum
Aktif konular
Üyeler
Kurallar
Arama
Bi Bakarmısınz?... Bi Bakarmısınz?...
-
arkadaşlar şu logaritmadaki e sayısı hakKnda geniş-ayrıntılı bilgi lazm şuanda bnde arıyorum ama elinde döküman olanlar yada bulabilcek olanlarda yardm ederse ii olr ... tarhçesi , bulan kişi , bulan kişi hakknda biras bilgi... herşey olabilr yani...
-
e = 2.71828183
-
saolasın ilkin :D bayada geniş bi acıklama olmuşş :P
-
yav hiçmi bişe bilen yoq a.k :s bnde pek elle tutular bişiler bulamadm göte gelcez..
-
Logaritma konusunda bulunan "e" sayısı nasıl hesaplanır? (Ali Merda) Sinüs ve kosinüs hesaplayan bir formül var mıdır? Sinüs ve pi arasında direk bir bağıntı var mıdır? sin(180 / 2n)= pi 2^n ifadesinde n'i yeterince büyük aldığımızda (örn:32) pi’ye çok yakın bir sayı çıkıyor. (Hilmi Karatatar)
Yöneltmiş olduğunuz bu sorular ortak bir cevaba sahip olduğundan ikisini birlikte cevaplamayı uygun görüyorum. Böylece bu tarz hesapların nasıl yapıldığına dair daha çok örnek görebiliriz. Fakat anlatacağım konu üniversitede 1. sınıfın ikinci dönem dersi olduğundan oldukça ayrıntılı bilgi gerektiriyor. Burada elimden geldiğince çok fazla teknik ayrıntıya giremeden yani formüllerin çıkışından ziyade onların nasıl kullanılacağından bahsederek sorularınızı cevaplamaya çalışacağım.
Bundan sonra göreceğiniz her (sigma) işaretinde n:0'dan sonsuza hesaplanacak. Her bilgisayarda açılmama ihtimalini düşünerek denklem programı kullanmadım.
f(x)=an(x-c)n Şeklindeki bir seriye Power Seri denir.
Bu serinin ak.terimi fk(c)/k! ile hesaplanır.(fk(c): fonksiyonun k. Dereceden türevinin c noktasındaki değeri).
Yani power serimiz:
f(x)= ((fn(c)/n!)(x-c)n
halini alır ki buna da Taylor serisi denir. c=0 özel durumuna da Maclaurin serisi denir.(şu konuda uyarmalıyım ki tanımlar gerekli k değerleri ve fonksiyonun k. Türevinin olması durumunu da kapsar. Daha sağlıklı tanımlar ve ispatlar için herhangi bir genel matematik kitabından yararlanabilirsiniz)
Uzun sözün kısası elimizde her dereceden türevi olan fonksiyonlar varsa onların power seri açılımını bulabiliriz. İşe ex fonksiyonu ile başlayalım .Bütün dereceden türevleri olmakla birlikte bu türevler kendisine eşittir. Hatta c=0 noktasını seçerek işimizi kolaylaştıralım ve Maclaurin Serisini açalım:
f(x)= ex = (ex(0)/n!)(x-0)n(seri 0'dan sonsuza)
=e0+ e0x+ (e0/2!)x2+(e0/3!)x3+...
= 1/0!+(1/1!)x+ (1/2!)x2+(1/3!)x3+...
İşte ex'in seri açılımı budur.(Şimdiye kadar yazdıklarım karışık geldi ise bu son satırı size verilmiş bir formül gibi algılayabilirsiniz) Bu açılım bize e üzeri kaçı istiyorsanız onu hesaplar. e1 yani e’yi merak ediyoruz; öyleyse x=1 deyip denklemi tekrar yazalım:
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...
İşte bu sonsuz açılımı toplayınca e'nin gerçek değerine ulaşacağız.
Tabii ki de bunu toplamak mümkün değil, zaten e transandantal bir sayı olduğu için hiçbir basamağı devretmez sonsuza uzar gider. Ama biz şöyle 22 basamağına ulaşsak işimizi görür diyorsanız size bir yol sunayım
Eğer virgülden sonra n tane doğru ondalık basamak istiyorsanız n+3. basamağa gelince durmalısınız. Yani 22 basamak için 25. Basamağa kadar hesap yapmalıyız.(bu kural hata terimi hesaplama teoreminden doğan pratik bir yöntem). Aşağıda hesaplanmışı var:
1/0! = 1/1 = 1.0000000000000000000000000
1/1! = 1/1 = 1.0000000000000000000000000
1/2! = 1/2 = 0.5000000000000000000000000
1/3! = 1/6 = 0.1666666666666666666666667
1/4! = 1/24 = 0.0416666666666666666666667
1/5! = 1/120 = 0.0083333333333333333333333
1/6! = 1/720 = 0.0013888888888888888888889
1/7! = 1/5040 = 0.0001984126984126984126984
1/8! = 1/40320 = 0.0000248015873015873015873
1/9! = 1/362880 = 0.0000027557319223985890653
1/10! = 1/3628800 = 0.0000002755731922398589065
1/11! = 0.0000000250521083854417188
1/12! = 0.0000000020876756987868099
1/13! = 0.0000000001605904383682161
1/14! = 0.0000000000114707455977297
1/15! = 0.0000000000007647163731820
1/16! = 0.0000000000000477947733239
1/17! = 0.0000000000000028114572543
1/18! = 0.0000000000000001561920697
1/19! = 0.0000000000000000082206352
1/20! = 0.0000000000000000004110318
1/21! = 0.0000000000000000000195729
1/22! = 0.0000000000000000000008897
1/23! = 0.0000000000000000000000387
1/24! = 0.0000000000000000000000016
1/25! = 0.0000000000000000000000001
+ -----------------------------
2.7182818284590452353602875
Virgülden sonra ki 22 basamağı gönül rahatlığı ile kullanın.
Aynı şekilde her dereceden türevi mevcut olan sin(x) fonksiyonu için durumu değerlendirelim. Böylece yaptıklarımız pekişir.
f(x)= (fn(c)/n!)(x-c)n
yine c=0 için:
sin(x)= [(sin(x)n|X=0)/n!] (x-0)n (sin(x) fonksiyonun1.2.3.4. türevinin 0'daki değerleri bize sırayla 1,0,-1,0 verecektir)
=0+x-x3/3!+0+x5/5!+0-...
=x-x3/3!+x5/5!- x7/7!...
Aynı şekilde
cos(x)=1- x2/2!+x4/4!- x6/6!...
Örnek olarak cos(43°)ü de hesaplayarak bu konuyu noktalayabiliriz. Ama önce 43°yi radyana çevirelim: 43°=43/180
cos(43°)= cos(43/180) ,x yerine 43/180 yerleştirirsek
=1-(1/2!)( 43/180)2+(1/4!)( 43/180)4-(1/6!)(43/180)6+...
kaç basamağı istiyorsanız biraz önce kullandığımız yöntemle hesaplayabilirsiniz. e, sin, cos hesaplayan hesap makinelerinin çoğu da bu serilerle programlanarak çalışır.
Gelelim ikinci okuyucumuzun sorduğu
sin(180/2n) = ifadesine.
Bu ifade de bir yazım yanlışlığı var sanıyorum. Çünkü 180/2n ifadesi n in çok büyük değerleri için 0’a yakınsar bu da ifadenin Sin 0'a yani 0’a yakınsaması demektir. İlginiz için teşekkür eder matematiğe olan merakınızın hayat boyu devam etmesi dilerim.
Nilüfer Karadağ (Tübitak'ta karının biri)
Kısayol
Şikayet
Özel Mesaj
Alıntı yap
Toplam Hit: 1761 Toplam Mesaj: 5
Cevapla